1. Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него октаэдра.

2. Найдите отношение объема шара к объему описанного около него октаэдра.

Объём шара Vш = (4πR³) / 3.

1) Октаэдр можно представить как 2 соединённые основаниями правильные четырёхугольные пирамиды.

Объем Vo вписанного в шар радиусом R октаэдра равен 2 * ((1/3) SoH).

Сторона квадрата (это основание двух пирамид) равна R √2.

So = (R√2) ² = 2R².

Высота Н = R.

Тогда объём вписанного в шар октаэдра равен V = (2/3) * (2R²) * R = 4R³/3.

Отношение Vш/Vo = ((4πR³) / 3) / ((4R³) / 3) = π.

2) Сторона квадрата, описанного около окружности радиуса R равна 2R.

Тогда So = (2R) ² = 4R².

Высота пирамиды (половины октаэдра) Н = R√2.

Тогда объём описанного около шара октаэдра равен:

V = (2/3) * (4R²) * (R√2) = 8√2R³/3.

Отношение Vш/Vo = ((4πR³) / 3) / ((8√2R³) / 3) = π / (2 √2).