Медиана BM треугольника АBC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в середине. Найдите етот диаметр, если диаметр описаной около треугольника окружности равен 8

Это опять задача-"обманка", на самом деле нет никакой задачи. Пусть середина ВС - это точка Е. Ясно, что МЕ перпендикулярно ВС, поскольку вписанный угол ВЕМ опирается на диаметр. То есть в треугольнике ВМС МЕ одновременно медиана и высота. Поэтому ВМС - равнобедренный треугольник, и ВМ = МС. А поскольку М - середина АС, то ВМ = МС = АМ. То есть М - равноудалена от точек А, В и С. То есть М - это центр описанной вокруг треугольника АВС окружности, и её радиус ВМ = 8/2 = 4;

Между прочим, получилось, что угол АВС прямой, и что окружность с диаметром ВМ пересекает в середине не только ВС, но и АВ.