1 Треугольник abc описан около окружности ac=10 периметр равен 26 уголb=60 найти r окружнлсти

Треугольник АВС описан около окружности.

АС=10, периметр P (Δ ABC) = 26, ∠ B=60

найти r вписанной в треугольник окружности

Пусть АВ=х, тогда ВС = P - AB - AC = 26-10-x=16-x

По теореме косинусов:

АС²=АВ²+ВС²-2·АВ·ВС·сos ∠ B,

10 ² = x² + (16 - x) ² - 2·x· (16 - x) ·1/2,

100 = x ² + 256 - 32 x + x ² - 16 x + x ²,

3 x ² - 48 x + 156 = 0,

x ² - 16 x + 52 = 0,

D=b² - 4ac = (-16) ² - 4·52 = 256 - 208=48

x = (16-4 √3) / 2 = 8 - 2√3 или х = (16 + 4 √3) / 2 = 8 + 2√3

АВ=8 - 2√3 или АВ = 8 + 2√3

тогда

ВС=16-х = 16 - (8-2√3) = 8+2√3 или ВС=16 - (8+2√3) = 8-2√3

Таким образом, стороны, ограничивающие угол В равны 8+2√3 и 8-2√3

Площадь треугольника АВС равна половине произведения сторона АВ и ВС на синус угла между ними:

S = (AB· BC·sin ∠ B) / 2, = ((8+2√3) (8-2√3) ·√3/2) / 2 = (64-12) ·√3/4=12√3

р=Р/2=26/2=13

r=S/p=12√3/13