Точки К и М лежат на сторонах соответственно АВ и ВС треугольника АВС, причем ВК: КА=1:4, ВМ: МС=3:2. прямая МК пересекает продолжение стороны АС в точке Т. Найдите АС: СТ.

Очень важная задача.

Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P.

Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства

AK/KB = AT/TP;

BM/MC = TP/CT;

если перемножить эти равенства, то получится

(AK/KB) * (BM/MC) = AT/CT; (*)

Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6;

AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5;

Если вернуться к соотношению (*)

(AK/KB) * (BM/MC) = AT/CT;

то его можно переписать так

(AK/KB) * (BM/MC) * (CT/AT) = 1;

или (AK*BM*CT) / (KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая.

PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое.