Даны векторы a и b такие, что угол (a; b) = 5 п/6; |a+b*|=1; |2a-b |=

Найдите |3b-2a|

Найдем скалярное произведение: a"b" = ab*cos5 П/6 = (-abкор3) / 2 (1)

Теперь составим систему уравнений для нахождения a и b (модулей), скалярно умножив сами на себя вектора, приведенные в условии:

(a"+b"кор3) (a"+b"кор3) = a^2 + 2a"b"кор3 + 3b^2

(2a" - b"кор3) (2a" - bкор3) = 4a^2 - 4a"b"кор3 + 3b^2 (2)

Подставим (1) в (2) и получим систему чисто для модулей векторов a" и b":

a^2 - 3ab + 3b^2 = 1

4a^2 + 6ab + 3b^2 = 31

Попробуем упростить:

Вычтем из второго - первое и получим: a (a+3b) = 10 (3)

Теперь домножим первое на 31 и вычтем второе:

27a^2 - 99ab + 90b^2 = 0

3a^2 - 11ab + 10b^2 = 0 однородное уравнение.

Делим на b^2 и обозначим a/b = t:

3t^2 - 11t + 10 = 0 D = 1 t1 = 2, t2 = 5/3

1. a/b = 2 и добавим (3)

a^2 + 3ab = 10

a = 2b a = 2

4b^2 + 6b^2 = 10 b = 1

Вектора 3a" и 2b" образуют треугольник с тем же углом 5 П/6 между ними. Разность векторов это вектор соединяющий концы этих векторов - то есть третья сторона треугольника. Найдем ее по теореме косинусов:

|3b-2a| = кор{9b^2 + 4a^2 + 2*3b*2a * (кор3) / 2} = кор{9 + 16 + 12 кор3}=

кор (25+12 кор3).

2. a/b = 5/3

a^2 + 3ab = 10

a=5b/3 a = 5 / (кор7)

25b^2 / 9 + 5b^2 = 10 5b^2 / 9 + b^2 = 2 b = 3 / (кор7)

|3b-2a| = кор{81/7 + 100/7 + 2 * (9*10/7) * (кор3) / 2}=

= [кор (181 + 90 кор3) ] / кор7

Ответ: кор (25+12 кор3) ; [кор (181 + 90 кор3) ] / кор7