правильный четырехугольник вписан в окружность, а правильный треугольник описан около этой окружноти. Найдите отношение сторон правильных четырех угольника и треугольника

Квадрат вписан в окружность, которая, в свою очередь, вписана в правильный треугольник.

Пусть сторона треугольника равна а.

Высота его равна

(a√ 3) : 2

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен одной трети ее высоты:

r = (a√ 3) : 6

Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали.

А диагональ = 2r.

Так как окружность одна и та же:

d=2r = 2 (a√ 3) : 6 = (a√ 3) : 3

Пусть сторона квадрата равна у. Тогда его диагональ

d=у√2

Подставим значение диагонали

у√2 = (a√ 3) : 3

у = (a√ 3) : 3) : √2 = (a√ 3) : 3√2

Сторона треугольника: сторона квадрата

а: у=а: (a√ 3) : 3√2=3 а√2) : a√ 3

Умножим на √ 3 числитель и знаменатель дроби:

а: у=3 √2) : √ 3=3 √2*√ 3) : √ 3*√ 3=3√6) : 3=√6

Ответ: отношение сторон правильных треугольника и квадрата = √6:1 или

квадрата и треугольника 1:√6