Доказать методом от противного:

"Если две различные прямые пересекаются, то их пересечение содержит одну и только одну точку."

1. Аксиомы принадлежности.

1.1. Через две различные точки проходит единственная прямая.

1.2. На каждой прямой имеются, по крайней мере, две точки, ей принадлежащие.

1.3. Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.

1.4. Через каждые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

1.5. На каждой плоскости имеется, по крайней мере, одна точка, ей принадлежащая.

1.6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.

1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку.

1.8. Существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

2. Аксиомы порядка.

2.1. Из любых трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Для любых двух точек прямой существует такая третья точка на этой прямой, что вторая лежит между первой и третьей.

2.3. Если прямая лежит на плоскости, определяемой тремя точками A, B, C, не проходит ни через одну из этих точек и пересекает отрезок AB, то она пересекает отрезок AC или отрезок BC.

3. Аксиомы движения.

3.1. Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя.

3.2. Если точки A, B и C лежат на одной прямой, причем C лежит между A и B, то всякое движение f переводит их в точки f (A), f (B), f (C), принадлежащие одной прямой, причем f (C) лежит между f (A) иf (B).

3.3. Композиция двух движений является движением.

3.4. Для всяких двух реперов, взятых в определенном порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй (Репером называется произвольная тройка (A, a, a), где A - точка, a - луч с вершиной в этой точке, a - одна из двух полуплоскостей, определяемых лучом a).

4. Аксиомы непрерывности.

4.1 (Аксиома Архимеда). Пусть A 0, A1, B - три точки, принадлежащие одной прямой, причем точка A 1 лежит между A 0 и B. Пусть, далее, f - движение, переводящее точку A 0 в точку A 1 и луч A 0B в лучA 1B. Положим f (A 1) = A 2, f (A 2) = A 3, ... Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке A n-1 An.

4.2 (Аксиома Кантора). Пусть A 1, A2, ... и B 1, B2, ... такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой, что для любого n точки A n и B n различны между собой и находятся на отрезке A n-1 Bn-1. Тогда на этой прямой существует такая точка C, которая принадлежит всем отрезкам A nBn.

5. Аксиома параллельности.

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

А. Д. Александров в книге [2] к основным объектам планиметрии относит точки и отрезки, а к основным отношениям: точка является концом отрезка, точка лежит на отрезке, равенство отрезков.

Аксиомы подразделяются на линейные и плоскостные.

Линейные аксиомы.

1. Аксиомы связи.

1.1 (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок. У каждого отрезка есть два и только два конца. Кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.

1.2 (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.

1.3 (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т. е. если точка C лежит на отрезке AB, то она делит его на два отрезка AC и BC, которые не имеют общих внутренних точек.

1.4 (аксиома соединения отрезков). Если точка C лежит на отрезке AB, а B на