Шар радиусом 3 переплавили в конус, диаметр основания которого равен 12. Найдите высоту этого конуса

Так как при переплавлении объем не меняется, то объем шара = объему конуса.

Vшар = (4 пи*r^3) / 3

Vконус = (пи*h*R^2) / 3, где h - высота, R - радиус основания.

Sбок = пи*R*l (l - длина образующей)

Soсн = пи*R^2

l выразим через высоту и радиус основания.

l^2 = R^2 + h^2

l = корень (R^2 + h^2)

Sбок = 2Soсн

пи*R*l = 2 пи*R^2

вместо l подставим корень (R^2 + h^2)

корень (R^2 + h^2) * пи*R = 2 пи*R^2

сократим пи и R

корень (R^2 + h^2) = 2R

возведем в квадрат:

R^2 + h^2 = 4R^2

3R^2 = h^2

R = h/корень3 подставим это в формулу Vконус = (пи*h*R^2) / 3 и приравним ее к Vшар = (4 пи*r^3) / 3

(4 пи*r^3) / 3 = (пи*h * (h^2/3)) / 3

4 пи*r^3 = пи*h^3/3

сократим пи и домножим на 3

12r^3 = h^3

h = (кубический корень12) * r

Ответ: (кубический корень12) * r