В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=15, AC=9 проведена биссектриса. Пусть - точка касания AB с вписанной в треугольник окружностью, отрезки и пересекаются в точке P, продолжение AP пересекает BC в точке. Найти отношение

.

Т. к. 9²+12²=15², то ∠A - прямой. Значит r=AC₁ = (9+12-15) / 2=3, откуда C₁B=12-3=9 и AC₁/C₁B=1/3. Т. к. BB₁ - биссектриса, то CB₁/B₁A=BC/BA=5/4. По т. Чевы (BA₁/A₁C) · (CB₁/B₁A) · (AC₁/C₁B) = 1, откуда

A₁C/BA₁ = (5/4) · (1/3) = 5/12, т. е. BA₁ = (12/17) BC=12·15/17. Т. к. BP - биссектриса треугольника ABA₁, то AP/PA₁=AB/BA₁=12 / (12·15/17) = 17/15.