Сколько диагоналей можно провести через вершину выпуклого n-угольника? Решите задачу при: 1) n = 4; 2) n = 5; 3) n = 6; 4) n = 10.

Через вершину выпуклого n-угольника проходит d = n * (n-3) / 2 диагоналей.

Доказать это просто:

1) Из каждой вершины выходит n-1 отрезок к остальным n-1 вершине.

Но к двум соседним вершинам - это стороны, а не диагонали.

Поэтому из каждой вершины выходит n-3 диагонали.

Вершин всего n, поэтому получается n * (n-3) диагоналей.

2) Каждая диагональ соединяет две вершины. Если мы провели диагональ АС, то одновременно мы провели диагональ СА.

Поэтому количество диагоналей нужно разделить пополам.

Получается d = n * (n-3) / 2

1) n = 4, d = 4*1/2 = 2

2) n = 5, d = 5*2/2 = 5

3) n = 6, d = 6*3/2 = 9

4) n = 10, d = 10*7/2 = 35