На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=72, MD=18, H - точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите АН.

Поскольку задача "продвинутая", я изложу решение в стиле "для продвинутых".

Если описать окружность вокруг треугольника ABC, и продлить AD до пересечения с этой окружностью в точке H1, то

DH = DH1; доказать это очень просто, если заметить, что

∠H1BD = ∠H1AC; (оба вписанных угла опираются на дугу H1C) а

∠H1AC = ∠HBD = 90° - ∠C; то есть

∠H1BD = ∠HBD; дальше очевидно.

Для хорд BC и AH1 можно записать BD*CD = AD*DH1 = AD * (AD - AH) ;

Если теперь достроить заданную в задаче полуокружность до полной, то BC будет хордой и в ней, и можно записать аналогично

BD*CD = MD^2; (ну, диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам)

Получилось

AD * (AD - AH) = MD^2; или AH = AD * (1 - (MD/AD) ^2) ; число найдите самостоятельно.

Техническая простота решения не должна вводить в заблуждение. На самом деле полученный ответ имеет очень нетривиальную интерпретацию. Дело в том, что AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1 (где B1 и С1 - основания высот BB1 и CC1). Получается, что этот диаметр не зависит от положения точки D на BC, и от величины BC, а только от AD и MD. Слово "только" не совсем точное, поскольку величина BC не является независимой. НО результат необычный.