KO - перпендикуляр к плоскости, KM и KP - наклонные к плоскости альфа, OM и OP - проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости альфа, если KM=15 см и KP = 10√3 см.

(В решении будем использовать теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках.)

Решение:

По условию дано, что ОМ + ОР = 15 см. Пусть ОМ = х, тогда ОР = 15 - х.

Рассмотрим треугольники КОМ и КОР. Данные треугольники являются прямоугольными, так как КО - перпендикуляр к плоскости альфа.

По теореме Пифагора выразим общий катет (KO) треугольников КОМ и КОР:

1. В треугольнике КОМ:

КО^2 = 15^2 - OM^2

KO^2 = 225 - x^2

2. В треугольнике КОР:

КО^2 = (10sqrt3) ^2 - OP^2

KO^2 = 100 * 3 - (15 - x) ^2

KO^2 = 300 - (15 - x) ^2

Из двух полученных значений КО^2 следует, что:

KO^2 = 225 - x^2 = 300 - (15 - x) ^2

или

225 - x^2 = 300 - (15 - x) ^2

Тогда x = 5 = > OM = 5 (см)

Из треугольника КОМ выразима КО по теореме Пифагора, т. е.:

КО = sqrt (225 - 25) = sqrt 200 = sqrt (100 * 2) = 10 sqrt 2

Далее, если нужно, выражаем это значение более подробно.

Для этого находим значение квадратного корня из двух и решаем:

Sqrt 2 ~ 1, 414 ~ 1, 4 = > KO ~ 10 * 1,4 = > KO ~ 14 (см)

Ответ: 10 sqrt 2 (или 14 см).