Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке

K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите

отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK.

Т. к. ВМ - медиана треугольника АВС, то S (ABM) = S (MBC)

Т. к. АК - медиана треугольника АВМ,

* то S (ABK) = S (AKM) = S (ABM) / 2=S (MBC) / 2

Проведем МД так, что МД || КР, тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВДМ, а МД - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РД=ДС, т. е. ВС=3 ВР. По условию ВК=КМ, т. е. ВМ=2 ВК. Тогда

S (KBP) = 1/2*ВК*ВР*sinКВР

S (МВС) = 1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2 ВК*3 ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВР

* Тогда S (KBP) / S (МВС) = 1 / 6

Сравниваем строчки, помеченные * и получаем S (КВР) : S (АКМ) = 1 : 3