Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан меньше периметра треугольника и больше 3/4 периметра

Первое неравенство получается совсем просто. Оно вытекает из того, что медиана меньше полусуммы сторон между которыми он поведена (доказывается так: достраиваем треугольник до параллелограмма, где эта удвоенная медиана - диагональ и факт вытекает из неравенства треугольника). Пишем эти неравенства для всех медиан. складываем их и получаем искомое утверждение.

Второе неравенство доказывается так. Пусть стороны треугольника а, в, с.

Медианы м1 - проведена к а, м2 - к в и м3 к с.

Тогда, очевидно (м1+м2) * (2/3) больше в

(м1+м3) * (2/3) больше а

(м2+м3) * (2/3) больше с

складывая, получим

(4/3) * (м1+м2+м3) больше (а+в+с), что и требуется.