Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см. Боковое ребро образует с высотой угол 30 градусов. Найти S и V

Дано: сторона основания а = 3 см, угол α = 30°.

Находим высоту h основания:

h = a*cos30° = 3√3/2.

Проекция бокового ребра на основание равна (2/3) * h = (2/3) * (3√3/2) = √3.

Высота Н пирамиды равна:

Н = ((2/3) * h) * tgα = √3 * (1/√3) = 1 см.

Площадь So основания равна

So = a²√3/4 = 3²√3/4 = 9√3/4 ≈ 3,897114 см ².

Периметр основания Р = 3 а = 3*3 = 9 см.

Находим апофему А, проекция которой на основание равна (1/3) h.

(1/3) h = (1/3) * (3√3/2) = √3/2 см.

A = √ (H² + ((1/3) h) ²) = √ (1² + (√3/2) ²) = √ (1 + (3/4)) = √7/2 ≈ 1,322876 см.

Площадь Sбок боковой поверхности равна:

Sбок = (1/2) РА = (1/2) * 9 * (√7/2) = 9√7/4 ≈ 5,95294.

Площадь S полной поверхности пирамиды равна:

S = So + Sбок = (9√3/4) + (9√7/4) = (9/4) (√3 + √7) ≈ 9,198002.

Объём V пирамиды равен:

V = (1/3) So*H = (1/3) * (9√3/4) * 1 = (3√3/4) ≈ 1,299038 см ³.