Точка M лежит внутри равнобедренного треугольника с углом при вершине 120º. Расстояние от M до каждой из боковых сторон равно 3, а до основания 4 корня из 3. Найдите длину основания.

Дано: ΔАВС - равнобедренный, АВ=ВС, ∠В=120°, ДТ=ТЕ=3, ТН=4√3. Найти АС.

∠А=∠С = (180-120) : 2=30°

Поскольку перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой, ТЕ⊥ВС, а ΔТВЕ - прямоугольный, где ∠ВЕТ=90°.

Таким же образом точка Т находится на перпендикуляре ВН.

Получаем ВН - высота, медиана и биссектриса ∠В, ∠В=120:2=60°.

Из ΔВТЕ найдем ВТ по теореме синусов:

3/sin60=BT/sin90; BT=3:√3/2=2√3.

ВН=ВТ+ТН=2√3+4√3=6√3.

По теореме синусов найдем СН:

6√3/sin30=CH/sin60

CH=6√3 * √3/2 : 1/2 = 18.

АС=2 СН=36 (ед.)

Ответ: 36 ед.