Ахиллес и Черепаха бегали вокруг стадиона весьма необычным способом. Одновременно стартовав в одном направлении, Ахиллес всякий раз менял направление бега на противоположное, как только встречался с Черепахой. Известно, что за то время, пока Черепаха совершила ровно 1 круг, Ахиллес успел всего 2 раза встретиться с Черепахой, и одновременно с ней прибежал к стартовой позиции. Во сколько раз Ахиллес быстрее черепахи? Ответ округлите до сотых.

Обозначим S длину круга, v скорость Черепахи, w скорость Ахиллеса.

Нам надо найти отношение w/v.

Первый раз Ахиллес догнал Черепаху, когда она прошла x м.

Ахиллес к этому моменту пробежал полный круг и еще x м, всего S+x м.

t1 = x/v = (S+x) / w

После встречи Ахиллес развернулся и побежал обратно. В момент второй встречи Черепаха оказалась в точке y м, то есть она прошла y-x м.

Ахиллес пробежал x м обратно до старта и еще S-y м до встречи.

Всего он пробежал S+x-y м.

t2 = (y-x) / v = (S+x-y) / w

Третий раз Черепаха закончила круг, S м. То есть прошла S-y м. Ахиллес развернулся и побежал туда же, что и Черепаха, причем обогнал ее со старта. Он пробежал S-y м до старта и еще круг, S м. Всего 2S-y м.

t3 = (S-y) / v = (2S-y) / w

Выразим w/v из всех трех уравнений

{ w/v = (S+x) / x

{ w/v = (S+x-y) / (y-x)

{ w/v = (2S-y) / (S-y)

Приравняем правые части этих уравнений

{ (S+x) / x = (S+x-y) / (y-x)

{ (S+x) / x = (2S-y) / (S-y)

Решаем пропорции

{ (y-x) (S+x) = x (S+x-y)

{ (S+x) (S-y) = x (2S-y)

Раскрываем скобки

{ Sy - Sx + xy - x^2 = Sx + x^2 - xy

{ S^2 + Sx - Sy - xy = 2Sx - xy

Приводим подобные

{ Sy - 2Sx = 2x^2 - 2xy

{ S^2 = Sx + Sy

Из 2 уравнения S = x + y. Подставляем в 1 уравнение

S (y - 2x) = 2x^2 - 2xy

(x + y) (y - 2x) = 2x^2 - 2xy

xy + y^2 - 2x^2 - 2xy = 2x^2 - 2xy

4x^2 - xy - y^2 = 0

Делим все на y^2

4 (x/y) ^2 - (x/y) - 1 = 0

D = 1 - 4*4 * (-1) = 17

(x/y) 1 = (1 - √17) / 8 ≈ - 0,39 - не может быть, x и y разных знаков.

(x/y) 2 = (1 + √17) / 8 ≈ 0,64 - подходит

x = y * (1+√17) / 8; S = x + y = y * (1+√17) / 8 + y = y * (9+√17) / 8

Отношение скоростей Ахиллеса и Черепахи:

w/v = (S + x) / x = S/x + 1 = [y (9+√17) / 8] : [y (1+√17) / 8] + 1 =

= (9+√17) / (1+√17) + 1 = (9+√17) (√17-1) / (17-1) + 1 = (9√17+17-9-√17) / 16 + 1 =

= (8√17+8) / 16 + 1 = (1+√17) / 2 + 1 = (1 + √17 + 2) / 2 = (3+√17) / 2 ≈ 3,56