У ракеты, стартовавшей вертикально вверх с ускорением а = 4g, отделилась первая

ступень и упала на землю через время 40 с после старта. На какой высоте произошло отделение?

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Время Δt складывается из времен подъема ракеты t1 до высоты h и спуска ступени t2 с этой высоты:

Δt = t1 + t2 (!)

если ракета начинала подъем без начальной скорости, то справедливо уравнение:

h = (a t1²) / 2 = 2g t1²

поэтому время t1 равно:

t1 = √ (h / (2g))

ракета, поднявшись на высоту h, приобретает скорость v = a t1 = 4g t1. такую же скорость по модулю, но обратную по направлению, приобретает ступень. для нее справедливо уравнение:

h = 4g t1 t2 + (g t2²) / 2

перепишем квадратное уравнение относительно t2 в виде:

t2² + 8 t1 t2 - (2h) / g = 0

корень этого уравнения (отрицательный, разумеется, отбрасываю) :

t2 = (-8 t1 + √ (64 t1² + (8h) / g)) / 2

t2 = √ (16 t1² + (2h) / g) - 4 t1

после ряда преобразований и подстановки выражения для t1 получаем:

t2 = √ (h/g) * (√10 - √8)

вернемся к формуле (!) :

Δt = √ (h / (2g)) + √ (h/g) * (√10 - √8)

нетрудно получить выражение для h:

h = (g Δt²) / (√ (1/2) + √10 - √8) ²

h = (9.8*40^ (2)) / (sqrt (0.5) + sqrt (10) - sqrt (8)) ^ (2) ≈ 14470.389 м

h ≈ 14.47 км