Дано число

а=2^2015+3^2014. наидите последнюю цифру числа а и остаток при делении а на 11

Последняя цифра числа 2^k чередуется по закону: 2,4,8,6,2,4,8,6 ...

Длинна периода равна 4 цифры.

Остаток от деления 2015 на 4 равен 3 (2012 делиться на 4)

Значит 2^2015 кончается на цифру 8.

Для нахождения остатка от деления на 11,

Воспользуемся следующим приемом: Найдем самое близкое число 2^k

Дающее при делении на 11 остаток 1. Это число: 2^10=1024

2^10=11*93+1 2^2010 = (2^10) ^201 = (11*93+1) ^201 В данном выражении бинома ньютона, каждое слагаемое кроме 1^201 = 1 делиться на 11.

Таким образом остаток от деления 2^2010 на 11 равен 1.

2^2010=11*k+1

2^2015=11*k*2^5+2^5=11*m+32=11 * (m+2) + 10

2^2015 при делении на 11 дает остаток 10.

Последняя цифра числа 3^k чередуется по закону: 3,9,7,1,3,9,7,1 ...

Длинна периода 4 цифры.

2014 при делении на 4 дает остаток 2. То 3^2014 кончается на цифру 9.

Найдем теперь остаток от деления на 11:

Число дающее в остатке 1: 3^5=243

3^5=11*22+1 3^2010 = (3^5) ^402 = (11*22+1) ^402. Снова дает остаток

1^402=1 (По тому же принципу прошлого примера) 3^2010 дает при делении на 11 остаток 1.

3^2010=11*n+1

3^2014=11*n*3^4+81=11 * (r+7) + 4

3^2014 при делении на 11 дает остаток 4.

Число a кончается на цифру 7 (8+9=17).

Число a при делении на 11 дает остаток 3.

(Тк a=11 (m+2) + 10+11 * (r+7) + 4=11*x+14=11 * (x+1) + 3)

Ответ: Кончается на цифру 7; При делении на 11 дает остаток 3.