Точка случайно попадает на окружность радиуса R с равномерным распределением вероятностей по длине дуги. найти закон распределения проекции этой точки на диаметр

Центр координат помещаем в центр окружности. Будем искать закон распределения по оси Х.

Уравнение окружности

x^2+y^2=R^2

y=R√ (1-x^2/R^2)

Длина окружности 2πR.

Вероятность попадания на окружность 1.

Плотность распределена равномерно.

f (x) = 2/2π/y - две полуокружности.

f (x) = 1 / (πR*√ (1-x^2/R^2)) - искомая функция. - R <=x< = R

Проверяем

F' (x) = f (x)

F (-R) = 0

F (x) = arcsin (x/R) / π+1/2

F (R) = 1

На графике красным f (x)

синим F (x)