M^3+3m^2+5m+3. Доказать, что кратно 3.

Тут видимо имеются ввиду натуральные m. Достаточно доказать что m³+3m² + 5m кратно 3. Тогда и сумма этого выражения и тройки будет кратна 3.

Применим метод мат. индукции:

Для m=1 m³+3m²+5m кратно 3. Докажем, что если выражение кратно 3 для какого то натурального k, то и для k+1 оно тоже будет кратно 3. В самом деле:

(k+1) ³+3 (k+1) ²+5 (k+1) = (k+1) [ (k+1) ²+3 (k+1) + 5] = (k+1) (k²+5k+9) = k³+5k²+9k+k²+5k+9=k³+3k²+5k+3k²+9k+9 = (k³+3k²+5k) + 3 (k²+3k+3)

Первая скобка делится на 3 по предположению, со второй все ясно, значит их сумма делится на 3.

Из доказанного утверждения и того факта, что при m=1 выражение кратно 3 следует что оно кратно 3 для всех натуральных m. Значит и m³+3m²+5m+3 кратно 3. Что и требовалось.