Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. если к двум первым прибавить по 1, а к третьему и четвертому числам прибавить 7 и 25, то получится арифметическая прогрессия. Найдите числа образующие геометрическую.

(аn) - арифметическая прогрессия; (bn) - геометрическая прогрессия.

b1 + 1 = a1 b1 + 1 = a1 подстановка

b2 + 1 = a2 b1q + 1 = a1 + d b1q + 1 = b1 + 1 + d ⇒d = b1q - b1

b3 + 7 = a3 b1q² + 7 = a1 + 2d b1q² + 7 = b1 + 1 + 2d

b4 + 25 = a4 b1q³ + 25 = a1 + 3d b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3d

сделаем подстановку в 3 и 4 уравнения:

b1q² + 7 = b1 + 1 + 2 (b1q - b1)

b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3 (b1q - b1)

теперь надо решить эту систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Упрощаем каждое уравнение

b1q² - 2b1q + b1 = - 6 b1 (q² - 2q + 1) = - 6

b1q³ - 3b1q + 2b1 = - 24 ⇒ b1 (q³ - 3q + 2) = - 24 Разделим первое уравнение на второе. Получим:

(q² - 2q + 1) / (q³ - 3q + 2) = 1/4⇒ 4q² - 8 q + 4 = q³ - 3q + 2⇒q³ - 4q² + 5q - 2 = 0

Получили уравнение 3-й степени. Его корни - это делители свободного члена.

Возможные корни: + - 1; + - 2

+ - 1 не рассматриваем. Проверим + - 2

а) q = 2

8 - 16 + 10 - 2 = 0

б) q = - 2

-8 - 16 - 10 - 2 ≠0

вывод: q = 2

b1 (q² - 2q + 1) = - 6

b1 (4 - 4 + 1) = - 6

b1·1 = - 6

b1 = - 6

геометрическая прогрессия: - 6; - 12; - 24; - 48