1. Решите в натуральных числах уравнение k+n+1 = НОК (k, n) - 4*НОД (k, n)

2. По стадиону бегут 3 спортсмена A, B и C, стартовав одновременно из одного места. Спортсмен А каждый круг пробегает на 2 секунды быстрее В, а В - на 3 секунды быстере С. Когда А финишировал, В осталось пробежать 1 круг, а С - 2 круга. Сколько кругов составляла дистанция?

1) НОК (k, n) и НОД (k, n) оба делятся на НОД, и k+n тоже делится на НОД. Но тогда k+n+1 не может делиться на НОД. А если делится, то ясно, что НОД=1. Тогда НОК=k*n

k+n+1=k*n-4

k*n=k+n+5

k * (n-1) = n+5

k = (n+5) / (n-1)

При n=2 будет k=7.

При n=3 будет k=4.

Ответ: (2,7) ; (3,4) ; (4,3) ; (7,2)

2) А пробегает круг за х сек,

В за (х+2) сек, С за (х+5) сек.

Дистанция составляет n кругов.

А пробежал дистанцию за x*n сек, В за это же время пробежал n-1 круг

xn = (x+2) (n-1)

С пробежал за это же время n-2 круга

xn = (x+5) (n-2)

Раскрываем скобки

xn=xn+2n-x-2

xn=xn+5n-2x-10

Упрощаем

x=2 (n-1)

2x=5 (n-2)

Очевидно, что х делится на 2 и на 5

При этом n-1 делится на 5, а n-2 на 2

Единственное решение: x=10, n=6

Ответ: 6 кругов