Существует ли число вида 3^n+1 (n принадлежит N), делящееся на 10^100? Ответ объясните

Предположим что такое число существует. То оно раз делиться на, 10^100 то и делиться на 10. А значит число 3^n должно кончаться цифрой 9.

Последние цифры числа 3^n чередуются по правилу: 3,9,7,1,3,9,7,1 ...

Числа с цифрой 9 в конце происходят при n=4k-2, k-натуральные числа.

Тогда наше число n если существует имеет вид:

3^n+1=3^ (4k-2) + 1

Представим его так:

3^ (4k-2) + 1 = (4-1) ^ (4k-2) + 1

Выражение (4-1) ^ (4k-2) представляет собой многочлен бинома Ньютона. В нем каждый член кроме члена (-1) ^ (4k-2) помножен на какую либо степень четверки. Таким образом сумма всех членов кроме (-1) ^ (4k-2) делиться на 4 (Обозначим ее S). Тк 4k-2 cтепень четная при любом натуральном k, то

(-1) ^ (4k-2) = 1

Тогда можно записать:

3^n + 1=3^ (4k-2) + 1=4S+2

То есть число 3^n+1 при делении на 4 дает остаток 2. Но тк по предположению такое число делиться на 10^100, то как следствие должно делиться на 4 без остатка. То есть мы пришли к противоречию. То есть такого числа не существует.