Найти наименьшее значение выражения

через производную адски решается

аналитика нужна скорее всего

На координатной плоскости возьмем точки А (1; 0), В (0; 1) и С ((х√3) / 2; x/2).

Тогда BC=√ (3x²/4 + (1-x/2) ²) = √ (x²-x+1), AC=√ ((х√3) / 2-1) ²+x²/4) = √ (x²-х√3+1), AB=√2. Т. к. по неравенству треугольника BC+AC≥AB, то

√ (x²-x+1) + √ (x²-х√3+1) ≥√2. Равенство здесь достигается при C∈AB, а именно, при х=√3-1. Действительно:

√ ((√3-1) ² - (√3-1) + 1) = √ (6-3√3) = √3·√ (2-√3) = √3·√ ((√3-1) ²/2) = (3-√3) / √2.

√ ((√3-1) ²-√3 (√3-1) + 1) = √ (2-√3) = √ ((√3-1) ²/2) = (√ 3-1) / √2.

Сумма этих выражений равна √2. Таким образом, после умножения на √2, получим, что минимальное значение равно 2.

P. S. x=√3-1 найдено из соображений, что точка С ((х√3) / 2; x/2) должна лежать на прямой AB, задаваемой уравнением u+v=1. Т. е. должно выполняться (х√3) / 2+x/2=1, откуда x = √3-1.