Докажите, что квадрат любого натурального числа, увеличенный на 1, не делится на 3.

Из свойств Квадрата натурального числа А

либо делится на 3 - остаток 0,

либо не делится и дает - остаток 1.

(А²+1) / 3 В первом случе даст остаток-1

во втором даст остаток-2.

И в первом и втором случае не делится на 3 нацело.

PS. Доказательства Свойства квадрата

1) Если число А кратно 3, значит

А = 3 К, тогда А² = (3 К) = 9 К² делится на 3 нацело-остаок 0.

2) Если же число а не кратно 3 то его можно представить двумя способами

а) А = 3 К - 1, тогда А ² = (3 К-1) ²=9 К²-6 К+1=3 (3 К²-2 К) + 1

и при делении на 3 даст - остаток 1.

либо б) А = 3 К + 1, тогда А² = (3 К+1) ²=9 К²+6 К+1=3 (3 К²+2 К) + 1

и при делении на 3 даст - остаток 1.