Найдитн наименьшее значение функции y=x-ln (x+6) + 3

Для нахождения экстремумов (в т. ч. минимумов), нужно взять производную, приравнять её нулю и решить. Полученные значения проверить на максимум и минимум.

y=x-ln (x+6) + 3

Область допустимых значений x >-6

y' = (x-ln (x+6) + 3) '=1 - / frac{1}{x+6} = 0 / / / / / frac{1}{x+6} = 1 / / / / x+6=1 / / / / x=-5

Имеем одно экстремальное значение х = - 5. Если производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс, то это минимум. Для практической проверки следует подставить в выражение производной значение икс несколько меньше (-5) и несколько больше (-5). Обычно следует выбирать такие значение, чтобы легче считалось.

Слева, или меньше (-5) выбираем х = - 5,5 (в данном случае нельзя брать меньше минус 6, т. к. выйдем из ОДЗ).

y' (-5,5) = 1 - / frac{1}{-5,5+6} = 1 - / frac{1}{0,5} = 1-2=-1 / / textless / 0

Справа, или больше (-5) выбираем х = 0.

y' (0) = 1 - / frac{1}{0+6} = 1 - / frac{1}{6} = / frac{5}{6} / / textgreater / 0

Итак, мы видим, что производная (слева направо) меняет свой знак с минуса на плюс. Это означает, что найденный экстремум является минимум. Если было наоборот, то был бы максимум.

x_{min}=-5 / / / / y (-5) = x-ln (x+6) + 3=-5-ln (-5+6) + 3=-5-ln1+3=-2