1)

В треугольнике АВС MN - средняя линия, M ∈ AB, N ∈ ВС. О - точка пересечения медиан. М (0; 3), N (-2; 3), O (-1; 2).

а) Найдите координаты точек А и В.

б) Докажите, что точка К (0; 1) принадлежит медиане AN и делит ее в отношении 1:2.

2)

Докажите, что АВ диаметр окружности (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 10, если A (5; 2), B (-1; 0).

1. а

Пусть А (х; 0) (0 - потому что А лежит на оси ОХ), В (х1; у1)

Т. к. М - середина ВА, то

(х1+х) / 2=0, (0+у1) / 2=3

Значит у1=6

Т. е. В (х1; 6)

Рассмотрим СМ - медиана, и ОМ, лежащую на СМ

Т. к. СМ - мед. а О точка пересечения медиан, то ОМ=1/3 СМ

Пусть С (х2; 0) (0 т. к. С лежит на оси ОХ)

Вектор СМ имеет координаты{0-х2; 3-0}

{-х2; 3}

ОМ{0 - (-1) ; 3-2}

ОМ{1; 1}

ОМ*3=СМ

Так и с координатами

1*3=-х2

х2=-3

С (-3; 0)

N-середина ВС

Значит (х1-3) / 2=-2

х1=-1

В (-1; 6)

(х + (-1)) / 2=0

х=1

А (1; 0)