Из Москвы в г. Сергач Нижнегородской обл. вышел пассажирский поезд. Через 2 ч в том же направлении вышел скорый поезд, скорость которого была на 10 км/ч больше, чем скорость пассажирского поезда. В г. Сергач поезда пришли одновременно. Найдите скорости поездов, если расстояние между городами равно 630 км.

Пусть скорость первого поезда v1, второго v2, и времена пути соответственно t1 и t2. Тогда верны следующие равенства:

v1 + 10 = v2

t1 = t2 + 2

v1*t1 = v2*t2 = 630

Выразим из третьего и второго допустим так:

v1 = 630/t1 = 630 / (t2+2)

Подставим в первое:

630 / (t2+2) + 10 = v2

630 / (t2+2) = v2 - 10

Домножим на t2+2 (корень t2=-2 не потеряется, потому что время явно неотрицательно) :

630 = (v2-10) (t2+2) = v2*t2 + 2*v2 - 10 t2 - 20

Так как v2*t2 равно 630, остаётся:

2*v2 - 10 t2 - 20 = 0

А теперь выражаем t2 как 630/v2:

2*v2 - 10 (630/v2) - 20 = 0

Домножаем на v2:

2*v2² - 20*v2 - 6300 = 0

Сокращаем на 2 для простоты:

v2² - 10*v2 - 3150 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 10² + 4*3150 = 100 + 12600 = 12700 = 113² (примерно)

v2 = (10 + - 113) / 2 = 61,5 (второй корень отбрасываем как отрицательный)

Отсюда v1 = v2 - 10 = 51,5

Проверяем. Второй поезд потратит 630/61,5 = 10,24 ч, а первый 630/51,5 = 12,24 ч, ровно на 2 ч больше. Громоздко, но вроде верно получилось.