упростите выражение:, если

√ (х - 2) ² + √ (х + 2) ² при х≤ - 3

Корень квадратный из квадрата числа может быть положительным или отрицательным, например, если х² = 4, то √х² = ±2. Поэтому следует рассмотреть 4 случая:

1) (х - 2) ≥ 0 ⇒ х ≥ 2

(х - 2) ≥ 0 ⇒ х≥ - 2

пересечение этих интервалов даёт х≥ - 2,

но в условии дано, что х≤ - 3, поэтому данный случай рассматривать не надо.

2) (х - 2) ≥ 0 ⇒ х ≥ 2

(х - 2) ≤ 0 ⇒ х≤ - 2

Эти интервалы не пересекаются, поэтому данный случай не рассматриваем

3) (х - 2) ≤ 0 ⇒ х ≤ 2

(х - 2) ≥ 0 ⇒ х ≥ - 2

Эти интервалы не пересекаются, поэтому данный случай не рассматриваем

4) (х - 2) ≤ 0 ⇒ х ≤ 2

(х - 2) ≤ 0 ⇒ х≤ - 2

пересечение этих интервалов даёт х≤ - 2

Интервал х≤ - 2 единственный из всех 4-х рассмотренных случаев, который соответсвует условию х≤ - 3.

Итак, решаем, имея

√ (х - 2) ² = - х + 2

и

(х + 2) ² = - х - 2

-х + 2 + (-х - 2) = - х + 2 - х - 2 = - 2 х

x<=-3

√ (x-2) ²=|x-2| = 2-x

√ (x+2) ²=|x+2| = - (x+2)

√ (x-2) ²+√ (x+2) ²=|x-2|+|x+2| = (2-x) - (x+2) = 2-x-x-2 = - 2x