Вычислить неопределенный интеграл (с объяснением)

Int (x^2+2x-1) * cos 3x dx = Int x^2*cos 3x dx + 2*Int x*cos 3x dx - Int cos 3x dx = A

Решаем каждый интеграл по отдельности. Первый - 2 раза по частям.

Int x^2*cos 3x dx = 1/9*Int (3x) ^2*cos 3x dx = |3x = y, dy = 3dx| =

= 1/27*Int y^2*cos y dy = |u=y^2, dv=cos y dy, du = 2y dy, v=sin y| =

= 1/27 * (y^2*sin y - 2*Int y*sin y dy) = |u=y, dv=sin y, du=dy, v=-cos y| =

= 1/27*y^2*sin y - 2/27 * (-y*cos y + Int cos y dy) =

= y^2/27*sin y + 2y/27*cos y - 2/27*sin y = x^2/3*sin 3x + 2x/9*cos 3x - 2/27*sin 3x

Int x*cos 3x dx берется точно также, только один раз по частям.

Int x*cos 3x dx = |y = 3x| = 1/9*Int y*cos y dy = |u=y, dv=cos y, du=dy, v=sin y| =

1/9 * (y*sin y - Int sin y dy) = x/3*sin 3x + 1/9*cos 3x

Int cos 3x dx = 1/3*sin 3x

Подставляем все это в интеграл

A = x^2/3*sin 3x+2x/9*cos 3x-2/27*sin 3x+2x/3*sin 3x+2/9*cos 3x-1/3*sin 3x+C =

= sin 3x * (x^2/3 + 2x/3 - 2/27 - 1/3) + cos x * (2x/9 + 2/9) + C =

= 1/3*sin 3x * (x^2 + 2x + 1) + x/9*cos x * (2x + 2) - 2/27*sin 3x + C