Доказать что 5+5 в квадрате+5 в кубе + ... + 5 в 2006 степени делится на 6

Всех слагаемых будет 2006. Сгруппируем попарно в порядке следования:

(5+5^2) + (5^3+5^4) + ... + (5^2003+5^2004) + (5^2005+5^2006) =

=5 (1+5) + 5^3 (1+5) + ... + 5^2003 (1+5) + 5^2005 (1+5) =

=6 * (5+5^3 + ... + 5^2003+5^2005)

Произведение делится на какое-то число, если хотя бы один из сомножителей делится на это число. Здесь все очевидно.