Первый член арифметической прогрессии равен двум, 2 и 3 соответственно равны квадратов двух последовательных натуральных чисел. Найдите разность этой прогрессии.

Дано:

(an) - арифметическая прогрессия

a₁=2

a₂ = n²

a₃ = (n+1) ²

n∈N

d=?

Решение:

d=a₃-a₂ = (n+1) ²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1

d=a₂-a₁=n²-2

n²-2=2n+1

n²-2n-3=0

n₁=-1∉N; n₂=3∈N

n=3

a₂=n²=3²=9

d=a₂-a₁=9-2=7

Ответ: 7

Так как у нас квадраты двух последовательный чисел, то один из них является четным числом, а второй нечетным, если нечетный третий член прогрессии, тогда второй должен быть четным, но разность между четным числом и 2 - четная, а между третьим (нечетным) и вторым (четным) членами нечетная, чего быть не может, значит второй член прогрессии нечетный, а третий четный.

Пусть второй член прогрессии равен: (2k-1) ², а третий (2k) ², где k ≥ 2, тогда должно выполняться:

d = (2k-1) ² - 2 = (2k) ² - (2k-1) ²

4k² - 4k + 1 - 2 = 4k - 1

4k (k-2) = 0

k-2 = 0

k = 2

d = 4k - 1 = 7

Ответ: 7

Доп:

члены прогрессии: 2; 9; 16