27 февраля, 10:57

Найдите все значения параметра a такие, что неравенство

|9cos2x-6 (a-2) sinx+2a-4| ≤ 9

верно при всех значениях переменной x.

+1
Ответы (1)
  1. 27 февраля, 11:15
    0
    Используем формулу косинуса двойного угла cos2x=1-2sin²x и преобразуем неравенство к виду

    |18sin²x+6 (a-2) sinx-2a-5|≤9 или - 9≤18sin²x+6 (a-2) sinx-2a-5≤9

    Если неравенство должно быть выполнено для всех x, то значит в частности и для x=0 оно должно быть верным. Если x=0, то и sinx=0. Подставим 0 в неравенство:

    -9≤18*0+6 (а-2) * 0-2 а-5≤9

    -9≤2 а+5≤9

    -7≤a≤2 - мы получили первое ограничение на а.

    Пусть теперь x=π/2:

    -9≤18+6 (a-2) - 2a-5≤9

    -5/2≤a≤2 - мы еще больше ограничили множество возможных значений а, но это мало что дало.

    А если x=3π/2?

    Тогда - 9≤18-6 (a-2) - 2a-5≤9

    2≤a≤17/4

    Вот теперь повезло. В самом деле, если а2, то для x=0 и π/2, между тем нам надо чтобы оно выполнялось для любого x, а отсюда следует что подходит только а=2. Остается проверить эту двойку:

    |9cos2x-6 (2-2) sinx+2*2-4| ≤ 9

    9|cos2x|≤9

    |cos2x|≤1

    Очевидно, что неравенство верно для всех х, а значит двойка нам подходит. Ответ: а=2.

    Вообще обычно такие примеры решаются более сложными методами. Здесь просто все сложилось удачно.
Знаете ответ на вопрос?
Не уверены в ответе?
Правильный ответ на вопрос 👍 «Найдите все значения параметра a такие, что неравенство |9cos2x-6 (a-2) sinx+2a-4| ≤ 9 верно при всех значениях переменной x. ...» по предмету 📗 Алгебра. Развернутая система поиска нашего сайта обязательно приведёт вас к нужной информации. Как вариант - оцените ответы на похожие вопросы. Но если вдруг и это не помогло - задавайте свой вопрос знающим оппонентам, которые быстро дадут на него ответ!
Искать готовые ответы