Докажите что:

1/3^2+1/6^2 + ... + 1 / (3n) ^3 меньше 1/3n+1 при любом n принадлежащем N

1. Метод математической индукции.

Проверим для n=1

n^3+3n^2+5n+3=12 делится на 3, утверждение верно для n=1

n^3+3n^3+5n+3=12 делится на 3, утверждение верно для n=1

Пусть утверждение верно для всех n≤k, докажем его для n=k+1

(k+1) ^3+3 (k+1) ^2+5 (k+1) + 3=

=k^3+3k^2+3k+1+3 * (k^2+2k+1) + 5k+5+3=

=k^3+3k^2+5k+3+3k^2+9k+9=

= (k^3+3k^2+5k+3) + 3 (k^2+3k+3)

(k^3+3k^2+5k+3) делится на 3 по предположению индукции, 3 (k^2+3k+3) делится на 3, следовательно утверждение верно для n=k+1, следовательно утверждение верно для любых натуральных n.

Для тройки:

(k+1) ^3+3 (k+1) ^3+5 (k+1) + 3=

=4 (k^3+3k^3+3k+1) + 5k+5+3 = (4k^3+5k+3) + 3 * (4k^2+4k+3)

(4k^3+5k+3) делится на 3 по предположению индукции, 3 * (4k^2+4k+3) делится на 3, следовательно утверждение верно для n=k+1, следовательно утверждение верно для любых натуральных n.