Докажите, что если целые числа k, s, v удовлетворяют равенству (k-5) 2 + (s-12) 2 - (v-13) 2 = k2+s2-v2, то обе части равенства - точные квадраты.

(k-5) ^2 + (s-12) ^2 - (v-13) ^2 = k^2 + s^2 - v^2

k^2 - 10k + 25 + s^2 - 24s + 144 - (v^2 - 26v + 169) = k^2 + s^2 - v^2

k^2 + s^2 - v^2 - 10k - 24s + 26v = k^2 + s^2 - v^2

-10k - 24s + 26v = 0

13v = 5k + 12s

5k = 13v - 12s = 10v + 3v - 10s - 2s = 10 (v - s) + (3v - 2s)

k = 2 (v - s) + (3v - 2s) / 5

Чтобы k было целым, (3v - 2s) должно делиться на 5

Это бывает при таких сочетаниях:

v = 1, s = - 1; k = 3

v = 2; s = 3; k = - 2

v = 0; s = - 5; k = 12

v = 0; s = 5; k = - 12

И так далее.

Но что с этим дальше делать, и как доказать, что это точные квадраты - совершенно непонятно.