Докажите, что число n^3-n при любом n делится на 6.

при n=2 имеем 8-2=6 утверждение верно

полагаем, что оно вернопри n=m

покажем что оновыполняется и при n=m+1

(m+1) ^2 - (m+1) = m^3-m+3m^2+3m

первые два слагаемых делятся на 6 по предположению,

вторые делятся на 3, но m (m+1) число четное, т. к. четным является

либо m либо m+1. следовательно два вторых слагаемых тоже делятся на 6.

а значит и вся сумма делится на 6. утверждение доказано

Данное число запишем в виде произведения n^3-n=n (n^2-1) = n (n-1) (n+1) = (n-1) n (n+1)

Из трех натуральных последовательных чисел хотя бы одно делится на 2, и хотя бы одно обязательно делится на 3, 2 и 3 взаимно простые числа - поэтому произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 2*3=6, т. е.

n^3-n при любом n делится на 6, что и трбебовалось доказать. Доказано