одна из сторон квадрата лежит на прямой x - 3y + 1 = 0, а одна из вершин находится в точке (3, 0). найти уравнения остальных сторон квадрата.

Нам нужна параллельная прямая, проходящая через точку (3; 0). Уравнение ее отличается лишь свободным членом, который и нужно найти. Подставляем в исходное уравнение (свободный член - C) координаты:

x - 3y + C = 0

3 + C = 0

C = - 3

x - 3y - 3 = 0 - искомое уравнение параллельной стороны.

Также нам нужно уровнение, график которого перпендикулярен полученной прямой и проходит через данную точку.

Перпендикулярная прямая - члены при неизвестных поменяны местами, а знак между ними изменен. Свободный член также неизвестен.

3x + y + C = 0

Подставляем координаты и получаем, что C = - 9

Уравнение:

3x + y - 9 = 0

Теперь последняя сторона:

Расстояние между параллельными прямыми:

|C2 - C1| / (A^2 + B^2) ^1/2

Заметим, что (A^2 + B^2) ^1/2 равно для двух пар противоположных сторон. Следовательно:

|C2 - C1| для первой пары противоположных сторон = |C2 - C1| для второй (уравнение стороны которого мы и ищем).

4 = |C2 + 9|, следовательно C2 = - 5 или C2 = - 13

Как мы видим, возможно построить два квадрата (логично) из данных условий.

Итак. Уравнения:

x - 3y - 3 = 0

3x + y - 9 = 0

3x + y - 5 = 0 или 3x + y - 13 = 0