При каких значениях а и в множеством решений неравенства (a-2) (x ^2 - 2 (a^2-2a) - 7) <0 служит промежуток (3-b, 3+b) ?

1) Для того, чтобы решением оказался конечный промежуток, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

a - 2 > 0

(Если a = 2, решений у неравенства нет вовсе, а если a - 2 < 0, то решение - объединение промежутков вида (-infinity, c) и (d, + infinity)).

Итак, первая скобка больше нуля, и на неё можно поделить.

2) Получаем неравенство x^2 - 2 (a^2 - 2a) - 7 < 0

Заметим, что график функции y = x^2 + 2px + q - парабола - симметричен относительно прямой x = - p (это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы). Тогда множество решений (если оно не пусто) должно быть симметрично относительно x = - p / 2a. Таким образом, необходимо потребовать, чтобы:

а) у исходного неравенства были корни

б) абсцисса (т. е. х-координата) вершины была равна 3.

3) Проще всего начать со второго условия.

a^2 - 2a = 3

a^2 - 2a - 3 = 0

a1 = 3; a2 = - 1

Отметим сразу, что второй корень не удовлетворяет условию a - 2 > 0, так что единственный возможный кандидат на ответ это a = 3.

3) Остается проверить, что при подстановке в неравенство a = 3 множество решений окажется непустым.

x^2 - 2 (9 - 6) x - 7 < 0

x^2 - 6x - 7 < 0 - множество решений непусто, а именно - 1 < x < 7 (или, переписав в другом виде, 3 - 4 < x < 3 + 4)

Ответ. a = 3; b = 4.