Имеется несколько одинаковых шаров. их можно уложить в виде квадрата или в виде правильного треугольника. найдите число этих шаров если известно что при треугольном их расположении в стороне треугольника будет на два шара больше чем в стороне квадрата при квадратном их расположении. предполагается что шары располагаются не только по контуру квадрата (треугольника) но и заполняют и внутреннюю часть квадрата (треугольника).

В треугольние шары будут располагаться (при движении от вершины к основанию) так:

1, 2, 3, 4, ... m, где m - сторона треугольника. Общее количество шаров определяется по методу Гаусса: ∑ = ½ * (1+m) * m = m/2 + m²/2

В квадрате же они будут располагаться так:

n, n, n, n, ..., n (всего n раз), где n - сторона квадрата. Число шаров равно n²

По условию, m = n+2 / Отсюда:

(n+2) / 2 + (n+2) ²/2 = n²

n/2 + 1 + n²/2 + 4n/2 + 4/2 = n²

n²/2 + 2.5n + 3 = n²

0.5n² - 2.5n - 3 = 0

n² - 5n - 6 = 0

(n-6) (n+1) = 0

n=-1 < 0, не соответствует условию

n=6

Следовательно, n=6

n²=36

[П р о в е р к а:

В треугольнике стороной 8 всего (1+2+3 + ... + 8) = 36 шаров

В квадрате стороной 6 всего (6*6) = 36 шаров.

8-6 = 2, как и в условии. Следовательно, расчеты верны.]

Ответ: 36 шаров