Найдите точку минимума функции у = - х / х2+169

Решение

у = - х / (х² + 169)

Находим первую производную функции:

y ' = {2x²) / (x² + 169) ² - 1 / (x² + 169)

или

y ' = (x² - 169) / (x² + 169) ²

Приравниваем ее к нулю:

(x² - 169) / (x² + 169) ² = 0

x² - 169 = 0

x² = 169

x₁ = - 13

x₂ = 13

Вычисляем значения функции

f (-13) = 1/26

f (13) = - 1/26

Ответ: fmin = - 1/26; fmax = 1/26

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y '' = (- 8x³) / (x² + 169) ³ + (6x) / (x² + 169) ²

или

y '' = [2x * (- x² + 507) ] / (x² + 169) ³

Вычисляем:

y '' (- 13) = - 1/4394 < 0

значит эта точка - максимума функции.

y '' (13) = 1/4394 > 0

значит эта точка - минимума функции.