Найдите приращение функции f в точке х0, если: f (x) = x²/2, x0=2, ∆x=0,1.

Ражнения для самостоятельной работы

1. Запишите выражение для Δy = f (х0 + Δх) - f (х) и найдите область определения функции Δу, если:

a) f (x) = arcsin x, х0 = 1/2; б) f (x) = arccos x, х0 = 0; в) f (x) = ln x, х0 = 2; г) f (x) = sin x, х0 = 2π.

2. Пользуясь определением производной, найдите производную функции: а) y = х в точке х = 1; б) y = х2 в точке х = х0;

в) y = в точке х = 4; г) y = х|х| в точке х = 0;

д) f (х) = (1 - cos x) / x при x ≠ 0,

0 при x = 0 в точке х = 0.

3. Функция y = f (х) имеет производную в точке а. Вычислите пределы последовательностей:

a) n (f (a + 1/n) - f / (a)) ; б) n (f (a) - f (a - 2/n)) ;

в) n (f (a - 1/n) - f (a + 1/n)) ;

г) n (f (a + 1/n) + f (a + 2/n) + ... + f (a + k/n) - kf (a)).

4. Уравнения прямолинейного движения двух точек имеют вид: а) s1 = t, s2 = t2 (t ≥ 0) ; 6)

s1 = t2, s2 = t3 (t ≥ 0) ; в) s1 = ln t, s2 = (t ≥ 1) (t - время, s1 и s2 - расстояния, пройденные первой и второй точками за время t). Сравните мгновенные скорости этих двух точек, а также их средние скорости на отрезках времени 0 ≤ t ≤ 1 и 1 ≤ t ≤ 2 для случаев а) и б) и на отрезках 1 ≤ t ≤ 4 и 1 ≤ t ≤ 25 для случая в).

5. Составьте уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой x0, если:

а) f (x) = sin x, x0 = 0; б) f (x) = x2, x0 = 1;

в) f (x) =, x0 = 0; г) f (x) = arctg x, x0 = 1.

6. Найдите точку пересечения касательных к графику функции y = f (x) в точках с абсциссами x1 и x2, если:

а) f (x) = cos x, x1 = π/6, x2 = π/2; б) f (x) = ex, x1 = 0, x2 = 1; в) f (x) = arcsin x, x1 = 0, x2 = 1/2.