Найдите сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов всех членов прогрессии к сумме всех её членов равно 16/3

Question

Алгебра

Лин

10 мая, 20:47

Найдите сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов всех членов прогрессии к сумме всех её членов равно 16/3

+4

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Михаил · Answer 1

Сумма квадратов членов прогрессии может быть записана в виде S1=b1² * (1+q²+q⁴+q⁶ + ...). В скобках стоит бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q². В условии дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а это значит, что её знаменатель q удовлетворяет условию 0
b1 / (1+q) = 16/3;

b1*q=4

Из второго уравнения находим q=4/b1. Подставляя это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению b1² / (b1+4) = 16/3, которое приводится к квадратному уравнению 3*b1²-16*b1-64=0. Дискриминант D = (-16) ²-4*3 * (-64) = 1024=32². Тогда b1 = (16+32) / 6=8,

b2 = (16-32) / 6=-16/6=-8/3. Но так как прогрессия по условию - убывающая, то b1>b2. Значит, b1=8. Тогда q=b2/b1=4/8=1/2 и искомая сумма S7=8 * ((1/2) ⁷-1) / (1/2-1) = 8 * (1 - (1/2) ⁷) / (1-1/2) = 16 * (1 - (1/2) ⁷) = 16 * (1-1/128) = 16*127/128=127/8. Ответ: 127/8.