Писаться и переписываться это синонимы?

Нет, эти слова синонимами не являются. Данные слова имеют все-таки разное значение. Во-первых, глагол / писаться / - безобъектно-возвратный; значение, продиктованное словообразующим постфиксом / ся/, подразумевает постоянный признак объекта / Ср: В слове "желудь" пишется буква "ё" после щипящей/.

Глагол / переписываться/, в свою очередь, взаимно-возвратный, в его значении заложено действие, равноценно направленное на два субъекта сразу / Ср: С твоим отцом мы часто переписывались/.

Таким образом, зная, что синонимы - это слова одной части речи и очень близкие по значению, мы можем говорить о том, что возвратные глаголы / писаться и переписываться/, несмотря на общий корень, синонимами не являются.

Да, это синонимы.

Сравни:

1) Несколько лет назад я писался с ней крайне редко.

2) Несколько лет назад я переписывался с ней крайне редко.

Смысл предложений одинаков = > эти слова - синонимы.