Синтаксический разбор предложения.

Часто сестрица просила меня поиграть с ней, или почитать ей книжку, или рассказать что-нибудь.

Часто - наречие, обстоятельство.

Сестрица - существительное, подлежащее.

Просила - глагол, первая часть сказуемого.

Меня - местоимение, дополнение.

Поиграть - глагол, вторая часть сказуемого.

С ней - местоимение, дополнение.

Почитать - глагол, сказуемое.

Ей - местоимение, дополнение.

Книжку - существительное, дополнение.

Рассказать - глагол, сказуемое.

Что-нибудь - местоимение, дополнение.