Почему в слове мединститут пишется И а не Ы. Напишите полное правило на это правописание.

Правописание Ы И после приставок

После приставок, оканчивающихся на согласную, вместо и пишется ы в соответствии с произношением, например: играть - - подыграть, разыграть, сыграть; искать - - отыскать, подыскать, разыскать: идейный - - безыдейный; индукционный - - безындукционный; интегральный - - подынтегральный; исторический - - предысторический; июльский - - предыюльский.

Примечание 1. Данное правило не распространяется на сложносокращенные слова, например: пединститут, Госкомимущество, спортинвентарь.

Примечание 2. В слове взимать пишется и согласно произношению.

Примечание 3. После приставок меж - и сверх - сохраняется и, так как по общему правилу после шипящих и заднеязычных не пишется ы. Например: межинститутские соревнования, сверхизысканный, сверхиндустриализация. Также: двухимпульсный и т. п.

Примечание 4. Сохраняется и после иноязычных приставок и частиц дез-, контр-, пост-, суб-, супер-, транс-, пан-. Например: дезинформация, контригра, постимпрессионизм, субинспектор, суперинтендант, трансиорданский, панисламизм.

Ср. : предынфарктный - - постинфарктный (русская и иноязычная приставки).

При сочетании приставки, оканчивающейся на согласный, с корнем или с другой приставкой, которые начинаются с и, пишется, согласно с произношением, по общему правилу ы, например: розыск, предыдущий, возыметь, изымать (но: взимать, где произносится и), подытожить, безыскусственный, сызнова, безыдейный, безынициативный, безынтересный, сымпровизировать, надындивидуальный, предыстория.

Но пишется и:

1. В словах с приставками меж - и сверх-, например: межирригационный, сверхизысканный.

2. В словах с иноязычными приставками и частицами: пан-, суб-, транс-, контр - и т. п., например: панисламизм, субинспектор, Трансиордания, конт