Почему в деепричастие "Поверив" пишется суффикс ИВ, а не ЕВ. И если можно, подскажите под какое правило это попадает.

ВерИть-проверочное слово

В причастиях и деепричастиях пропущены гласные основы, от которой образованы данные в заданиях формы.

Следовательно, не стоит отвлекаться на форму причастия и деепричастия, вспоминать их суффиксы. Нужно заняться другим: научиться безошибочно определять, от какого глагола образованы причастия и деепричастия.