Как объяснить букву и после "ц" например: междунац ... онального, пунктуац ... и, функц ... онирует

Буква "и" после "ц" пишется в следующих случаях:

В корне слов:

цитата, цинга, цирк, бацилла, нарцисс, пациент, дисциплина, панцирь и т. д.

Исключением являются слова цыган, цыплёнок, на цыпочки (цыпочках), цыц и производные от них слова: цыганский, цыганка, цыплячий, цыкнуть, цыкать и др.

Эти слова-исключения из правила легко запомнить, если их объединить во фразу:

Цыган встал на цыпочки и сказал цыплёнку: "Цыц"!