прошу помогите! объясните написание выделенных букв.

прЕвосходно по тому временИ обрАзование; её обучили арифметикЕ за границЕй; она учтаствовала в созданиИ; писала комедиИ; наладила работу академической типографиИ гимназиИ; беСплатные; курсы по математикЕ геометриИ; убЕдительно.

ПрЕвосходно (значение приставки пере-), по тому временИ (разноспрягаемое сущ., в Д., Р., П. падежах окончание - и), обрАзование - словарное слово, корень образ-, арифметикЕ (1 скл., дат. падеж), за границЕй (в окончании без ударения после Ц пишется Е), в созданиИ (сущ. на - ие после И пишем И), комедиИ (у сущ. во множ. числе 1 скл. пишется окончание - и/-ы), типографиИ (в сущ. на - ия пишется И после И), гимназии (в сущ. на - ия после И пишется И), беСплатные (в приставке пишется С перед глухой П), по математикЕ (1 скл., дат. падеж), геометриИ (в сущ. на - ия пишется И после И, убЕдительно - словарное слово.