Синтаксический разбор предложения: В государстве ромашек, у края, где ручей, задыхаясь, поет, пролежал бы всю ночь до утра я, запрокинув лицо в небосвод.

В государстве - обстоятельство, выраженное существительным с предлогом

Ромашек - дополнение, выраженное существительным

У края - (уточнение) обстоятельство, выраженное существительным с предлогом

Ручей - подлежащее, выраженное существительным

Задыхаясь - обособленное обстоятельство, выраженное одиночным деепричастием

Поет - сказуемое, выраженное глаголом

Пролежал - сказуемое, выраженное глаголом

Всю ночь - обстоятельство, выраженное местоимением и существительным

До утра - обстоятельство, выраженное существительным с предлогом

Я - подлежащее, выраженное местоимением

Запрокинув лицо в небосвод - обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом

Характеристика предложения: СПП с обстоятельственным придаточным места